如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC-优题课

如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）画出△ABC沿射线DE方向向下平移4个单位长度得到的△A₁B₁C₁；
（2）画出△A₁B₁C₁与绕点O逆时针旋转180°后得到的△A₂B₂C₂；
（3）判断△ABC与△A₂B₂C₂的是否关于某点成中心对称？若是在图中标出对称中心点P．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：对称式和轮换对称式

如图， $3 \times 3$ 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．

（1）若乙固定在 $E$ 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是　　．

（2）若甲、乙均可在本层移动．

①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．

②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是　　．

2016年5月9日 $- 11$ 日，贵州省第十一届旅游产业发展大会在准一市茅台镇举行，大会推出五条遵义精品旅游线路： $A$ 红色经典， $B$ 醉美丹霞， $C$ 生态茶海， $D$ 民族风情， $E$ 避暑休闲．某校摄影小社团在“祖国好、家乡美”主题宣传周里，随机抽取部分学生举行“最爱旅游路线”投票活动，参与者每人选出一条心中最爱的旅游路线，社团对投票进行了统计，并绘制出如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请解决下列问题．

（1）本次参与投票的总人数是　　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）扇形统计图中，线路 $D$ 部分的圆心角是　　度．

（4）全校2400名学生中，请你估计，选择“生态茶海”路线的人数约为多少？

某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 $OB$ 的长为 $3 m$ ，静止时，踏板到地面距离 $BD$ 的长为 $0.6 m$ （踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 $hm$ ，成人的“安全高度”为 $2 m$ （计算结果精确到 $0.1 m)$

（1）当摆绳 $OA$ 与 $OB$ 成 $45 °$ 夹角时，恰为儿童的安全高度，则 $h =$ 　　 $m$

（2）某成人在玩秋千时，摆绳 $OC$ 与 $OB$ 的最大夹角为 $55 °$ ，问此人是否安全？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sin 55 ° \approx 0.82$ ， $\cos 55 ° \approx 0.57$ ， $\tan 55 ° \approx 1.43)$

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的三个顶点分别是 $A (- 8, 3)$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (- 4, 3)$ ， $∠ ABC = α °$ ．抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $C$ ，且对称轴为 $x = - \frac{4}{5}$ ，并与 $y$ 轴交于点 $G$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$ 的坐标；

（2）将 $Rt Δ ABC$ 沿 $x$ 轴向右平移 $m$ 个单位，使 $B$ 点移到点 $E$ ，然后将三角形绕点 $E$ 顺时针旋转 $α °$ 得到 $ΔDEF$ ．若点 $F$ 恰好落在抛物线上．

①求 $m$ 的值；

②连接 $CG$ 交 $x$ 轴于点 $H$ ，连接 $FG$ ，过 $B$ 作 $BP / / FG$ ，交 $CG$ 于点 $P$ ，求证： $PH = GH$ ．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 120 °$ ， $AB = AC = 6$ ． $P$ 是底边 $BC$ 上的一个动点 $(P$ 与 $B$ 、 $C$ 不重合），以 $P$ 为圆心， $PB$ 为半径的 $⊙ P$ 与射线 $BA$ 交于点 $D$ ，射线 $PD$ 交射线 $CA$ 于点 $E$ ．

（1）若点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上，设 $BP = x$ ， $AE = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围．

（2）当 $BP = 2 \sqrt{3}$ 时，试说明射线 $CA$ 与 $⊙ P$ 是否相切．

（3）连接 $PA$ ，若 $S_{ΔAPE} = \frac{1}{8} S_{ΔABC}$ ，求 $BP$ 的长．