如图ABAC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ 、 $BC$ 于点 $D$ 、 $E$ ，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ BAC = 2 ∠ CBF$ ．

（1）求证： $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为4， $CF = 6$ ，求 $\tan ∠ CBF$ ．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $OB$ ，求 $ΔABO$ 的面积．

2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位： $m)$ 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
$1.2 ⩽ x < 1.6$	$a$
$1.6 ⩽ x < 2.0$	12
$2.0 ⩽ x < 2.4$	$b$
$2.4 ⩽ x < 2.8$	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 $2.4 ⩽ x < 2.8$ 范围内的有多少人？

欧拉 $(Euler$ ，1707年 $~ 1783$ 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $V (Vertex)$ 、棱数 $E (Edge)$ 、面数 $F (Flatsurface)$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $V$	4	6	8	6
棱数 $E$	6		12
面数 $F$	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 $V$ 、 $E$ 、 $F$ 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x + 1) ⩽ 7 x + 13, \\ x - 4 < \frac{x - 8}{3}, \end{matrix}$ 并求它的所有整数解的和．