如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD90°，以AD为-优题课

如图，抛物线 $y = x^{2} + mx$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2, 0)$ 和点 $B$ ．

（1）求 $m$ 和 $b$ 的值；

（2）求点 $B$ 的坐标，并结合图象写出不等式 $x^{2} + mx > - x + b$ 的解集；

（3）点 $M$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左平移3个单位长度得到点 $N$ ，若线段 $MN$ 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围．

猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中 $A$ ， $B$ 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

价格

$A$ 款玩偶

$B$ 款玩偶

进货价（元 $/$ 个）

40

30

销售价（元 $/$ 个）

56

45

（1）第一次小李用1100元购进了 $A$ ， $B$ 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．

（2）第二次小李进货时，网店规定 $A$ 款玩偶进货数量不得超过 $B$ 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

（注：利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 %)$

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $AP$ ， $BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $OM$ ， $ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ ．当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证： $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长．

开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $BD$ 的底部 $D$ 在同一水平线上．已知佛像头部 $BC$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $BD$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77)$ ．

如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 $O$ 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与大正方形的一边交于点 $A (1, 2)$ ，且经过小正方形的顶点 $B$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．