如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点-优题课

设函数 $f (x) = e^{m x} + x^{2} - m x$ ．
（Ⅰ）证明： $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 单调递减，在 $(0, + \infty)$ 单调递增；
（Ⅱ）若对于任意 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq e - 1$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知椭圆 $C : 9 x^{2} + y^{2} = m^{2} (m > 0)$ ,直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ．
（Ⅰ）证明：直线 $O M$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若 $l$ 过点 $(\frac{m}{3}, m)$ ，延长线段 $O M$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $O A P B$ 能否为平行四边形？若能，求此时 $l$ 的斜率，若不能，说明理由．

如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B = 16, B C = 10, A A_{1} = 8$ ,点 $E, F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$ 上, $A_{1} E = D_{1} F = 4$ .过点 $E, F$ 的平面 $α$ 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线 $A F$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值．

某公司为了解用户对其产品的满意度，从 $A$ ， $B$ 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
$A$ 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
$B$ 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

记时间 $C$ ：" $A$ 地区用户的满意度等级高于 $B$ 地区用户的满意度等级"．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 $C$ 的概率．

$△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $△ A B D$ 面积是 $△ A D C$ 面积的 $2$ 倍．
（Ⅰ）求 $\frac{\sin ∠ B}{s i n ∠ C}$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 1$ ， $D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $B D$ 和 $A C$ 的长．