已知经过，，，四点，一次函数的图象是直线，直线与轴交于点．（-优题课

已知经过，，，四点，一次函数的图象是直线，直线与轴交于点．

（1）在右边的平面直角坐标系中画出，直线与的交点坐标为         ；
（2）若上存在整点（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得为等腰三角形，所有满足条件的点坐标为         ；
（3）将沿轴向右平移          个单位时，与相切．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，海中有一小岛 $A$ ，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，航行12海里到达 $D$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (0, 2)$ 三点，点 $D (x, y)$ 为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $ΔBCD$ 的面积为3时，求点 $D$ 的坐标；

（3）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDE$ 中的某个角等于 $∠ ABC$ 的2倍？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$ 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$ 的横坐标．依此即可得解．

如图，正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），连结 $BP$ ，将 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $BQ$ ，连结 $QP$ 交 $BC$ 于点 $E$ ， $QP$ 延长线与边 $AD$ 交于点 $F$ ．

（1）连结 $CQ$ ，求证： $AP = CQ$ ；

（2）若 $AP = \frac{1}{4} AC$ ，求 $CE : BC$ 的值；

（3）求证： $PF = EQ$ ．

我们知道，任意一个正整数 $x$ 都可以进行这样的分解： $x = m \times n (m$ ， $n$ 是正整数，且 $m ⩽ n)$ ，在 $x$ 的所有这种分解中，如果 $m$ ， $n$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $m \times n$ 是 $x$ 的最佳分解．并规定： $f (x) = \frac{m}{n}$ ．

例如：18可以分解成 $1 \times 18$ ， $2 \times 9$ 或 $3 \times 6$ ，因为 $18 - 1 > 9 - 2 > 6 - 3$ ，所以 $3 \times 6$ 是18的最佳分解，所以 $f (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ．

（1）填空： $f$ （6） $=$ 　　； $f$ （9） $=$ 　　；

（2）一个两位正整数 $t (t = 10 a + b$ ， $1 ⩽ a ⩽ b ⩽ 9$ ， $a$ ， $b$ 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 $f (t)$ 的最大值；

（3）填空：

① $f (2^{2} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；② $f (2^{3} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；③ $f (2^{4} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；④ $f (2^{5} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $OD$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $BE$ ．

（1）求证： $BE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）设 $OE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，若 $DF = 2$ ， $BC = 4 \sqrt{3}$ ，求线段 $EF$ 的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．