已知二次函数。（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x-优题课

已知二次函数。
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ACD = 25 °$ ，求 $∠ BAD$ 的度数．

如图，在矩形 $ABCD$ ， $AD = AE$ ， $DF ⊥ AE$ 于点 $F$ ．求证： $AB = DF$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B (4, 0)$ ，与过 $A$ 点的直线相交于另一点 $D (3, \frac{5}{2})$ ，过点 $D$ 作 $DC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 在线段 $OC$ 上（不与点 $O$ 、 $C$ 重合），过 $P$ 作 $PN ⊥ x$ 轴，交直线 $AD$ 于 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ，连接 $CM$ ，求 $ΔPCM$ 面积的最大值；

（3）若 $P$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，设 $OP$ 的长为 $t$ ，是否存在 $t$ ，使以点 $M$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

正方形 $ABCD$ 的边长为 $6 cm$ ，点 $E$ 、 $M$ 分别是线段 $BD$ 、 $AD$ 上的动点，连接 $AE$ 并延长，交边 $BC$ 于 $F$ ，过 $M$ 作 $MN ⊥ AF$ ，垂足为 $H$ ，交边 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）如图1，若点 $M$ 与点 $D$ 重合，求证： $AF = MN$ ；

（2）如图2，若点 $M$ 从点 $D$ 出发，以 $1 cm / s$ 的速度沿 $DA$ 向点 $A$ 运动，同时点 $E$ 从点 $B$ 出发，以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $BD$ 向点 $D$ 运动，运动时间为 $ts$ ．

①设 $BF = ycm$ ，求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式；

②当 $BN = 2 AN$ 时，连接 $FN$ ，求 $FN$ 的长．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $PA$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求证： $∠ BAC = ∠ CBP$ ；

（2）求证： $P B^{2} = PC \cdot PA$ ；

（3）当 $AC = 6$ ， $CP = 3$ 时，求 $\sin ∠ PAB$ 的值．