解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来．-优题课

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“ $H$ 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“ $H$ 点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于 $x$ 的函数中，是“ $H$ 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“ $\sqrt$ ”，不是“ $H$ 函数”的打“ $\times$ ”．

① $y = 2 x ($ 　　 $)$ ；

② $y = \frac{m}{x} (m \neq 0) ($ 　　 $)$ ；

③ $y = 3 x - 1 ($ 　　 $)$ ．

（2）若点 $A (1, m)$ 与点 $B (n, - 4)$ 是关于 $x$ 的“ $H$ 函数” $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的一对“ $H$ 点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $x = 2$ 的右侧，求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值或取值范围．

（3）若关于 $x$ 的“ $H$ 函数” $y = a x^{2} + 2 bx + 3 c (a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）同时满足下列两个条件：① $a + b + c = 0$ ，② $(2 c + b - a) (2 c + b + 3 a) < 0$ ，求该“ $H$ 函数”截 $x$ 轴得到的线段长度的取值范围．

在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 为 $DC$ 边上一点，把 $ΔADE$ 沿 $AE$ 翻折，使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ ．

（1）求证： $ΔABF ∽ ΔFCE$ ；

（2）若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $AD = 4$ ，求 $EC$ 的长；

（3）若 $AE - DE = 2 EC$ ，记 $∠ BAF = α$ ， $∠ FAE = β$ ，求 $\tan α + \tan β$ 的值．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $AD$ 与过 $C$ 点的直线互相垂直，垂足为 $D$ ， $AC$ 平分 $∠ DAB$ ．

（1）求证： $DC$ 为 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $AD = 3$ ， $DC = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

（1）这次调查活动共抽取　　人；

（2） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．

人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知： $∠ AOB$ ．

求作： $∠ AOB$ 的平分线．

作法：（1）以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $OA$ 于点 $M$ ，交 $OB$ 于点 $N$ ．

（2）分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} MN$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ AOB$ 的内部相交于点 $C$ ．

（3）画射线 $OC$ ，射线 $OC$ 即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．（填序号）

① $SSS$ ② $SAS$ ③ $AAS$ ④ $ASA$

（2）请你证明 $OC$ 为 $∠ AOB$ 的平分线．