计算：；-优题课

某单位计划派若干名员工参加电脑培训，现从两家电脑公司了解到，同样的培训条件，每名学员的培训费都报价为 $a$ 元，甲公司的优惠条件是：一名学员按报价收费，其余学员每人优惠 $25 %$ ；乙公司的优惠条件是：每名学员优惠20%.

（1）分别写出甲、乙两公司总收费 $y$ （元）关于学员人数 $x$ （人）的函数解析式；

（2）讨论该单位在哪家公司的培训总费用较低.

已知函数 $f (x) = 1 + \frac{2}{x}$ ，其中 $f (a)$ 表示 $x = a$ 时对应的函数值，即 $f (a) = 1 + \frac{2}{a}$ .

（1）求 $f (10)$ ；

（2）计算： $f (1) \cdot f (2) \cdot f (3) \cdot \dots \cdot f (100)$ 的值；

（3）如果 $f (a) - f (a + 1) = 1$ ，试求 $a$ 的值.

如图，在梯形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, E$ 是 $BC$ 的中点， $AD = 5, BC = 12, CD = 4 \sqrt{2}, ∠ C = 45 °$ ，点 $P$ 是 $BC$ 边上一动点，设 $PB$ 的长为 $x$ .

（1）当 $x$ 的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$ 的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$ 在 $BC$ 边上运动的过程中，以 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.

有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.（在图中给出的图形上分别作图示意）

如图所示，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = 4, ∠ BAD = 120 °, △ AEF$ 为正三角形，点 $E, F$ 分别在菱形的边 $BC, CD$ 上滑动，且 $E, F$ 不与 $B, C, D$ 重合.

（1）证明不论 $E, F$ 在 $BC, CD$ 上如何滑动，总有 $BE = CF$ ；

（2）当点 $E, F$ 在 $BC, CD$ 上滑动时，分别探讨四边形 $AECF$ 和 $△ CEF$ 的面积是否发生变化?如果不变化，求出这个定值；如果变化，求最大（或最小）值.