计算．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 2)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过线段 $OA$ 的中点 $B$ ，则 $k =$ 　　．

不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是　　．

$\frac{2019}{2020}$ 的相反数是　　．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且过点 $D (2, - 3)$ ．点 $P$ 、 $Q$ 是抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $OD$ 下方时，求 $ΔPOD$ 面积的最大值．

（3）直线 $OQ$ 与线段 $BC$ 相交于点 $E$ ，当 $ΔOBE$ 与 $ΔABC$ 相似时，求点 $Q$ 的坐标．

如图，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ （不包括端点）上运动，且满足 $AE = CG$ ， $AH = CF$ ．

（1）求证： $ΔAEH ≅ ΔCGF$ ；

（2）试判断四边形 $EFGH$ 的形状，并说明理由．

（3）请探究四边形 $EFGH$ 的周长一半与矩形 $ABCD$ 一条对角线长的大小关系，并说明理由．