自开展学生每天锻炼1小时活动后，我市某中学根据学校实际情况，-优题课

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $AB$ 上的一动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $DE$ ，点 $A$ 关于直线 $DE$ 的对称点为 $F$ ，连接 $EF$ 并延长交 $BC$ 于点 $G$ ，连接 $DG$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ DE$ 交 $DG$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $BH$ ．

（1）求证： $GF = GC$ ；

（2）用等式表示线段 $BH$ 与 $AE$ 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y = 4 x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3 a$ 经过点 $A$ ，将点 $B$ 向右平移5个单位长度，得到点 $C$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段 $BC$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

某年级共有300名学生．为了解该年级学生 $A$ ， $B$ 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

$a$ ． $A$ 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100) :$

$b$ ． $A$ 课程成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

$c$ ． $A$ ， $B$ 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

课程	平均数	中位数	众数
$A$	75.8	$m$	84.5
$B$	72.2	70	83

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中 $m$ 的值；

（2）在此次测试中，某学生的 $A$ 课程成绩为76分， $B$ 课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是　　（填“ $A$ ”或“ $B$ ” $)$ ，理由是　　，

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计 $A$ 课程成绩超过75.8分的人数．

如图， $Q$ 是 $\hat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的图形的内部的一定点， $P$ 是弦 $AB$ 上一动点，连接 $PQ$ 并延长交 $\hat{AB}$ 于点 $C$ ，连接 $AC$ ．已知 $AB = 6 cm$ ，设 $A$ ， $P$ 两点间的距离为 $xcm$ ， $P$ ， $C$ 两点间的距离为 $y_{1} cm$ ， $A$ ， $C$ 两点间的距离为 $y_{2} cm$ ．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量 $x$ 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 的几组对应值；

$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{1} / cm$	5.62	4.67	3.76		2.65	3.18	4.37
$y_{2} / cm$	5.62	5.59	5.53	5.42	5.19	4.73	4.11

（2）在同一平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 $(x, y_{1})$ ， $(x, y_{2})$ ，并画出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当 $ΔAPC$ 为等腰三角形时， $AP$ 的长度约为　　 $cm$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象 $G$ 经过点 $A (4, 1)$ ，直线 $l : y = \frac{1}{4} x + b$ 与图象 $G$ 交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 $G$ 在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $OA$ ， $OC$ ， $BC$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．

①当 $b = - 1$ 时，直接写出区域 $W$ 内的整点个数；

②若区域 $W$ 内恰有4个整点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围．