如图，AEAF，∠AEF∠AFE，BECF，说明ABAC。-优题课

如图1，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象过点 $O (0, 0)$ 和点 $A (4, 0)$ ，函数图象最低点 $M$ 的纵坐标为 $- \frac{8}{3}$ ，直线 $l$ 的解析式为 $y = x$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线 $l$ 沿 $x$ 轴向右平移，得直线 $l'$ ， $l'$ 与线段 $OA$ 相交于点 $B$ ，与 $x$ 轴下方的抛物线相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CE ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，把 $ΔBCE$ 沿直线 $l'$ 折叠，当点 $E$ 恰好落在抛物线上点 $E'$ 时（图 $2)$ ，求直线 $l'$ 的解析式；

（3）在（2）的条件下， $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，把 $ΔBON$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $135 °$ 得到△ $B' ON'$ ， $P$ 为 $l'$ 上的动点，当△ $PB' N'$ 为等腰三角形时，求符合条件的点 $P$ 的坐标．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $G$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 的中点， $AF = \frac{1}{4} AB$ ．

（1）求证： $EF ⊥ AG$ ；

（2）若点 $F$ 、 $G$ 分别在射线 $AB$ 、 $BC$ 上同时向右、向上运动，点 $G$ 运动速度是点 $F$ 运动速度的2倍， $EF ⊥ AG$ 是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形 $ABCD$ 的边长为4， $P$ 是正方形 $ABCD$ 内一点，当 $S_{ΔPAB} = S_{ΔOAB}$ ，求 $ΔPAB$ 周长的最小值．

学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．

（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？

（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？

如图，在 $Rt Δ ACB$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以 $AC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长交 $AC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CF = 2$ ， $DF = 4$ ，求 $⊙ O$ 直径的长．

如图，直线 $y = kx (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m > 0)$ 的交点为 $A$ 、 $B$ ， $AC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $∠ AOC = 30 °$ ， $OA = 2$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $P$ 在 $y$ 轴上，如果 $S_{ΔABP} = 3 k$ ，求 $P$ 点的坐标．