已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延-优题课

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题文

已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上点，CE="CF."

(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆内接四边形的性质

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ ， $BC$ ， $D$ 为 $AB$ 延长线上一点，连接 $CD$ ，且 $∠ BCD = ∠ A$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $ΔABC$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，求 $CD$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $⊙ O$ 上一点，连接 $CE$ 交线段 $OA$ 于点 $F$ ，若 $\frac{EF}{CF} = \frac{1}{2}$ ，求 $BF$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $A (a, 3)$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点 $A$ 的直线交反比例函数的图象于另一点 $C$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $D$ ，当 $ΔABD$ 是以 $BD$ 为底的等腰三角形时，求直线 $AD$ 的函数表达式及点 $C$ 的坐标．

越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点 $A$ 处安置测倾器，测得点 $M$ 的仰角 $∠ MBC = 33 °$ ，在与点 $A$ 相距3.5米的测点 $D$ 处安置测倾器，测得点 $M$ 的仰角 $∠ MEC = 45 °$ （点 $A$ ， $D$ 与 $N$ 在一条直线上），求电池板离地面的高度 $MN$ 的长．（结果精确到1米；参考数据 $\sin 33 ° \approx 0.54$ ， $\cos 33 ° \approx 0.84$ ， $\tan 33 ° \approx 0.65)$

为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案 $(2021 - 2025$ 年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．

课程	人数
篮球	$m$
足球	21
排球	30
乒乓球	$n$

根据图表信息，解答下列问题：

（1）分别求出表中 $m$ ， $n$ 的值；

（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

先化简，再求值： $(1 + \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ．

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