已知集合，，则（）．-优题课

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.

如图， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $P A$ 为圆 $O$ 的切线， $P B$ 与圆 $O$ 相交于 $D$ ， $P A = 3$ ， $\frac{P D}{P B} = \frac{9}{16}$ ，则 $P D =$ , $A B =$ .

若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} + a_{5} = 40$ ，则公比 $q =$ ；前n项和 $S_{n} =$ .

在极坐标系中，点 $(2, \frac{π}{6})$ 到直线 $ρ \sin θ = 2$ 的距离等于

当 $x \in R, |x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ 两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \dots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x + \dots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x} d x$ .从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots = \ln 2$ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} C_{n}^{1} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} C_{n}^{2} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} C_{n}^{n} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} =$ .