如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，在外侧距下底-优题课

为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表：

请根据以上图表，解答下列问题：

零花钱数额 $x /$ 元	人数（频数）	频率
$0 ⩽ x < 30$	6	0.15
$30 ⩽ x < 60$	12	0.30
$60 ⩽ x < 90$	16	0.40
$90 ⩽ x < 120$	$b$	0.10
$120 ⩽ x < 150$	2	$a$

（1）这次被调查的人数共有　　人， $a =$ 　　．

（2）计算并补全频数分布直方图；

（3）请估计该校1500名学生中每月零花钱数额低于90元的人数．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ，点 $E (4, 5)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将 $ΔABO$ 绕点 $O$ 旋转，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

①当点 $F$ 落在直线 $AE$ 上时，求点 $F$ 的坐标和 $ΔABF$ 的面积；

②当点 $F$ 到直线 $AE$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 时，过点 $F$ 作直线 $AE$ 的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．

在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，点 $O$ 是 $AC$ 的中点，点 $P$ 是 $AC$ 上的一个动点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $O$ ， $C$ 重合）．过点 $A$ ，点 $C$ 作直线 $BP$ 的垂线，垂足分别为点 $E$ 和点 $F$ ，连接 $OE$ ， $OF$ ．

（1）如图1，请直接写出线段 $OE$ 与 $OF$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $∠ ABC = 90 °$ 时，请判断线段 $OE$ 与 $OF$ 之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $| CF - AE | = 2$ ， $EF = 2 \sqrt{3}$ ，当 $ΔPOF$ 为等腰三角形时，请直接写出线段 $OP$ 的长．

某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 $y$ （袋 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 $3.5 ⩽ x ⩽ 5.5$ ，另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价 $x$ （元 $)$	3.5	5.5
销售量 $y$ （袋 $)$	280	120

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为 $w$ 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $\hat{AC} = \hat{BC}$ ， $E$ 是 $OB$ 的中点，连接 $CE$ 并延长到点 $F$ ，使 $EF = CE$ ．连接 $AF$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ ， $BF$ ．

（1）求证：直线 $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OB = 2$ ，求 $BD$ 的长．