定义新运算：，如，计算下列各式。（1）（2）（3）-优题课

贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次参与调查的人数有　　人；

（2）关注城市医疗信息的有　　人，并补全条形统计图；

（3）扇形统计图中， $D$ 部分的圆心角是　　度；

（4）说一条你从统计图中获取的信息．

乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥 $AB$ 和引桥 $BC$ 两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在 $A$ 处正上方 $97 m$ 处的 $P$ 点，测得 $B$ 处的俯角为 $30 °$ （当时 $C$ 处被小山体阻挡无法观测）．无人机飞行到 $B$ 处正上方的 $D$ 处时能看到 $C$ 处，此时测得 $C$ 处俯角为 $80 ° 36'$ ．

（1）求主桥 $AB$ 的长度；

（2）若两观察点 $P$ 、 $D$ 的连线与水平方向的夹角为 $30 °$ ，求引桥 $BC$ 的长．

（长度均精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 80 ° 36' \approx 0.987$ ， $\cos 80 ° 36' \approx 0.163$ ， $\tan 80 ° 36' \approx 6.06)$

学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．

（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是　　；

（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{7}{4}$ ，经过 $A (1, 0)$ 、 $B (7, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于 $D$ 点，以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作等边 $ΔABC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $M$ ，是 $S_{ΔABM} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} S_{ΔABC}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$ 是线段 $AC$ 上的动点， $F$ 是线段 $BC$ 上的动点， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $P$ ．

①若 $CE = BF$ ，试猜想 $AF$ 与 $BE$ 的数量关系及 $∠ APB$ 的度数，并说明理由；

②若 $AF = BE$ ，当点 $E$ 由 $A$ 运动到 $C$ 时，请直接写出点 $P$ 经过的路径长（不需要写过程）．

把 ${(\sin α)}^{2}$ 记作 $\sin^{2} α$ ，根据图1和图2完成下列各题．

（1） $\sin^{2} A_{1} + \cos^{2} A_{1} =$ 　　， $\sin^{2} A_{2} + \cos^{2} A_{2} =$ 　　， $\sin^{2} A_{3} + \cos^{2} A_{3} =$ 　　；

（2）观察上述等式猜想：在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，总有 $\sin^{2} A + \cos^{2} A =$ 　　；

（3）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中证明（2）题中的猜想：

（4）已知在 $ΔABC$ 中， $∠ A + ∠ B = 90 °$ ，且 $\sin A = \frac{12}{13}$ ，求 $\cos A$ ．