1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高A-优题课

1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的距离？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(\sqrt[3]{2} - 1)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

已知四边形 $ABCD$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $BC$ 上的动点，以 $AE$ 为直角边在直线 $BC$ 的上方作等腰直角三角形 $AEF$ ， $∠ AEF = 90 °$ ，设 $BE = m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $BC$ 上运动， $EF$ 交 $CD$ 于点 $P$ ， $AF$ 交 $CD$ 于点 $Q$ ，连结 $CF$ ，

①当 $m = \frac{1}{3}$ 时，求线段 $CF$ 的长；

②在 $ΔPQE$ 中，设边 $QE$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $BC$ 的中点且垂直于 $BC$ 的直线被等腰直角三角形 $AEF$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y = - x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $OB$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $BC$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似时，求线段 $EF$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $EC$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 $4 : 3$ ．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ， $PB$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $∠ PBA = ∠ OBC$ ；

（2）若 $∠ PBA = 20 °$ ， $∠ ACD = 40 °$ ，求证： $ΔOAB ∽ ΔCDE$ ．

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