计算：；-优题课

如图，热气球位于观测塔 $P$ 的北偏西 $50 °$ 方向，距离观测塔 $100 km$ 的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔 $P$ 的南偏西 $37 °$ 方向的 $B$ 处，这时， $B$ 处距离观测塔 $P$ 有多远？（结果保留整数，参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ． $)$

（1）如图，已知线段 $AB$ 和点 $O$ ，利用直尺和圆规作 $ΔABC$ ，使点 $O$ 是 $ΔABC$ 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在所画的 $ΔABC$ 中，若 $∠ C = 90 °$ ， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ，则 $ΔABC$ 的内切圆半径是　　．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 长是 $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ 的根，连接 $BD$ ， $∠ DBC = 30 °$ ，并过点 $C$ 作 $CN ⊥ BD$ ，垂足为 $N$ ，动点 $P$ 从 $B$ 点以每秒2个单位长度的速度沿 $BD$ 方向匀速运动到 $D$ 点为止；点 $M$ 沿线段 $DA$ 以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度由点 $D$ 向点 $A$ 匀速运动，到点 $A$ 为止，点 $P$ 与点 $M$ 同时出发，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

（1）线段 $CN =$ 　 $3 \sqrt{3}$ 　；

（2）连接 $PM$ 和 $MN$ ，求 $ΔPMN$ 的面积 $s$ 与运动时间 $t$ 的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当 $ΔPMN$ 是以 $PN$ 为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$ 的坐标．

某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 $m$ 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克 $n$ 元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求 $m$ ， $n$ 的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜 $x$ 千克 $(x$ 为正整数），求有哪几种购买方案．

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$ 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 $20 %$ ，求 $a$ 的最大值．

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AC$ 、 $BC$ 边上， $DC = EC$ ，连接 $DE$ 、 $AE$ 、 $BD$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别是 $AE$ 、 $BD$ 、 $AB$ 的中点，连接 $PM$ 、 $PN$ 、 $MN$ ．

（1） $BE$ 与 $MN$ 的数量关系是　　．

（2）将 $ΔDEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 $BE$ 与 $MN$ 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．