用量角器画出70°、135°、150°的角．-优题课

如图，是将抛物线 $y = - x^{2}$ 平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 1, 0)$ ，另一个交点为 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$ 为抛物线上一点，且 $BC ⊥ NC$ ，求点 $N$ 的坐标；

（3）点 $P$ 是抛物线上一点，点 $Q$ 是一次函数 $y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ 的图象上一点，若四边形 $OAPQ$ 为平行四边形，这样的点 $P$ 、 $Q$ 是否存在？若存在，分别求出点 $P$ 、 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，四边形 $ABCD$ 中， $AB = AC = AD$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ，点 $P$ 是 $AC$ 延长线上一点，且 $PD ⊥ AD$ ．

（1）证明： $∠ BDC = ∠ PDC$ ；

（2）若 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$ ， $AB = 1$ ， $CE : CP = 2 : 3$ ，求 $AE$ 的长．

某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．

（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？

（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了 $20 %$ ．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的 $90 %$ ，大樱桃的售价最少应为多少？

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ AOB$ 的斜边 $OA$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $∠ OBA = 90 °$ ，且 $\tan ∠ AOB = \frac{1}{2}$ ， $OB = 2 \sqrt{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $B$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $ΔAMB$ 与 $ΔAOB$ 关于直线 $AB$ 对称，一次函数 $y = mx + n$ 的图象过点 $M$ 、 $A$ ，求一次函数的表达式．

如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ C$ 经过坐标原点 $O$ ，且与 $x$ 轴， $y$ 轴分别相交于 $M (4, 0)$ ， $N (0, 3)$ 两点．已知抛物线开口向上，与 $⊙ C$ 交于 $N$ ， $H$ ， $P$ 三点， $P$ 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 $C$ 且垂直 $x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求线段 $CD$ 的长及顶点 $P$ 的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $S_{四边形OPMN} = 8 S_{ΔQAB}$ ，且 $ΔQAB ∽ ΔOBN$ 成立？若存在，请求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．