如图，已知为等边三角形，，垂足为，，垂足为，，垂足为，且求证-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = kAB (k > 0)$ ，点 $E$ 是线段 $CB$ 延长线上的一个动点，连接 $AE$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ AE$ 交射线 $DC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $AF$ 与 $AE$ 之间的数量关系是　　；

（2）如图2，若 $k \neq 1$ ，试判断 $AF$ 与 $AE$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $AD = 2 AB = 4$ ，连接 $BD$ 交 $AF$ 于点 $G$ ，连接 $EG$ ，当 $CF = 1$ 时，求 $EG$ 的长．

某超市销售一款"免洗洗手液"，这款"免洗洗手液"的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款"免洗洗手液"的销售单价为 $x$ （元 $)$ ，每天的销售量为 $y$ （瓶 $)$ ．

（1）求每天的销售量 $y$ （瓶 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $BO$ 为 $ΔABC$ 的角平分线，以点 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径作 $⊙ O$ 与线段 $AC$ 交于点 $D$ ．

（1）求证： $AB$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $AD = 2$ ，求 $BO$ 的长．

如图，海中有一个小岛 $A$ ，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏西 $60 °$ 方向上，航行12海里到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏西 $30 °$ 方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

"生活垃圾分类"逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对"生活垃圾分类"的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为" $A$ ．很有必要"" $B$ ．有必要"" $C$ ．无所谓"" $D$ ．没有必要"四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）扇形统计图中" $D$ ．没有必要"所在扇形的圆心角度数为　　；

（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对"生活垃圾分类"认为" $A$ ．很有必要"的学生人数．