甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。-优题课

甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车加速度大小不变，汽车乙的加速度是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

科目物理题型计算题难度中等

光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为 $h$ ，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间 $t$ 的变化如图（b）所示， $0 \sim τ$ 时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为 $2 B_{0}$ 和 $B_{0}$ ，一电阻为 $R$ ，边长为 $h$ 的刚性正方形金属框 $abcd$ ，平放在水平面上， $ab 、 cd$ 边与磁场边界平行． $t = 0$ 时，线框 $ab$ 边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度 $v$ 向右运动．在 $τ$ 时刻， $ab$ 边运动到距区域Ⅰ的左边界 $\frac{h}{2}$ 处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在 $τ \sim 2 τ$ 时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变； $2 τ \sim 3 τ$ 时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：

（1） $t = 0$ 时线框所受的安培力 $F$ ；

（2） $t = 1.2 τ$ 时穿过线框的磁通量 $ϕ$ ；

（3） $2 τ \sim 3 τ$ 时间内，线框中产生的热量 $Q$ 。

在驻波声场作用下，水中小气泡周围液体的压强会发生周期性变化，使小气泡周期性膨胀和收缩，气泡内气体可视为质量不变的理想气体，其膨胀和收缩过程可简化为如图所示的 $p - V$ 图像，气泡内气体先从压强为 $p_{0}$ 、体积为 $V_{0}$ 、温度为 $T_{0}$ 的状态 $A$ 等温膨胀到体积为 $5 V_{0}$ 、压强为 $p_{B}$ 的状态 $B$ ，然后从状态 $B$ 绝热收缩到体积为 $V_{0}$ 、压强为 $1.9 p_{0}$ 、温度为 $T_{C}$ 的状态 $C, B$ 到 $C$ 过程中外界对气体做功为 $W$ ．已知 $p_{0} 、 V_{0} 、 T_{0}$ 和 $W$ ．求：

（1） $p_{B}$ 的表达式；

（2） $T_{C}$ 的表达式；

（3） $B$ 到 $C$ 过程，气泡内气体的内能变化了多少？

某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示， $xOy$ 平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与 $y$ 轴负方向成 $α$ 角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与 $x$ 轴正方向成 $α$ 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为 $\frac{q}{m}$ 的带电粒子A，其速度大小为 $v_{0}$ 、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为 $2 v_{0}$ 。忽略边界效应，不计粒子重力。

（1）求角度 $α$ 及M、N两点的电势差。

（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为 $\frac{q}{m}$ 的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。

（3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为 $B_{1}$ ，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小 $B_{1}$ 及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。

如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为MN段的中点。在P点处有一加速器（大小可忽略），小球每次经过P点后，其速度大小都增加 $v_{0}$ 。质量为m的小球1从N处以初速度 $v_{0}$ 沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：

（1）球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小；

（2）球2的质量；

（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。

机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求：

（1）提升高度为h时，工件的速度大小；

（2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。