（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情-优题课

（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

⑴将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
⑵求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
⑶若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

科目数学题型解答题难度容易

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥ 平面 A B C D$ ，底部 ABCD为菱形， E为 CD的中点．

（Ⅰ）求证： $BD ⊥ 平面 P A C$ ；

（Ⅱ）若 $∠ ABC = 60 °$ ，求证： $平面 PAB ⊥ 平面 PAE$ ；

（Ⅲ）棱 PB上是否存在点 F，使得 $CF ∥ 平面 PAE$ ？说明理由．

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额

支付方式

不大于 $2000$ 元

大于 $2000$ 元

仅使用A

27人

3人

仅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于 $2000$ 元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于 $2000$ 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．

设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = - 10$ ，且 $a_{2} + 10$ ， $a_{3} + 8$ ， $a_{4} + 6$ 成等比数列．

（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前 n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值．

在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b–c = 2$ ， $cosB = - \frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求 b， c的值；

（Ⅱ）求 $\sin （ B + C ）$ 的值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线 $l ： y = k_{1} x ﹣ \frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且 $| MC | ： | AB | = 2 ： 3$ ，⊙M的半径为 $| MC |$ ，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求 $∠ SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．