如图，在Rt△ACB中，∠C90°，BE平分∠ABC，ED垂-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} + bx - 1$ 经过点 $A (- 2, 1)$ 和点 $B (- 1, - 1)$ ，抛物线 $C_{2} : y = 2 x^{2} + x + 1$ ，动直线 $x = t$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于点 $N$ ，与抛物线 $C_{2}$ 交于点 $M$ ．

（1）求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

（2）直接用含 $t$ 的代数式表示线段 $MN$ 的长；

（3）当 $ΔAMN$ 是以 $MN$ 为直角边的等腰直角三角形时，求 $t$ 的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线 $C_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，点 $M$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线 $C_{2}$ 上，连接 $AM$ 交 $y$ 轴于点 $K$ ，连接 $KN$ ，在平面内有一点 $Q$ ，连接 $KQ$ 和 $QN$ ，当 $KQ = 1$ 且 $∠ KNQ = ∠ BNP$ 时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

已知： $ΔABC$ 是等腰三角形， $CA = CB$ ， $0 ° < ∠ ACB ⩽ 90 °$ ．点 $M$ 在边 $AC$ 上，点 $N$ 在边 $BC$ 上（点 $M$ 、点 $N$ 不与所在线段端点重合）， $BN = AM$ ，连接 $AN$ ， $BM$ ，射线 $AG / / BC$ ，延长 $BM$ 交射线 $AG$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在直线 $AN$ 上，且 $AE = DE$ ．

（1）如图，当 $∠ ACB = 90 °$ 时

①求证： $ΔBCM ≅ ΔACN$ ；

②求 $∠ BDE$ 的度数；

（2）当 $∠ ACB = α$ ，其它条件不变时， $∠ BDE$ 的度数是　　；（用含 $α$ 的代数式表示）

（3）若 $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 3 \sqrt{3}$ ，点 $N$ 是 $BC$ 边上的三等分点，直线 $ED$ 与直线 $BC$ 交于点 $F$ ，请直接写出线段 $CF$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，点 $F$ 的坐标为 $(0, 10)$ ．点 $E$ 的坐标为 $(20, 0)$ ，直线 $l_{1}$ 经过点 $F$ 和点 $E$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = \frac{3}{4} x$ 相交于点 $P$ ．

（1）求直线 $l_{1}$ 的表达式和点 $P$ 的坐标；

（2）矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $B$ 在线段 $OF$ 上，边 $AD$ 平行于 $x$ 轴，且 $AB = 6$ ， $AD = 9$ ，将矩形 $ABCD$ 沿射线 $FE$ 的方向平移，边 $AD$ 始终与 $x$ 轴平行．已知矩形 $ABCD$ 以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位的速度匀速移动（点 $A$ 移动到点 $E$ 时停止移动），设移动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

①矩形 $ABCD$ 在移动过程中， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点中有且只有一个顶点落在直线 $l_{1}$ 或 $l_{2}$ 上，请直接写出此时 $t$ 的值；

②若矩形 $ABCD$ 在移动的过程中，直线 $CD$ 交直线 $l_{1}$ 于点 $N$ ，交直线 $l_{2}$ 于点 $M$ ．当 $ΔPMN$ 的面积等于18时，请直接写出此时 $t$ 的值．

如图， $BE$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ 和点 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $BE$ 延长线于点 $C$ ．

（1）若 $∠ ADE = 25 °$ ，求 $∠ C$ 的度数；

（2）若 $AB = AC$ ， $CE = 2$ ，求 $⊙ O$ 半径的长．

某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．

假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．