计算下列各题：-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段 $OE$ 绕着点 $O$ 沿顺时针方向旋转得到线段 $O E^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AE'$ ， $BE'$ ，求 $BE' + \frac{1}{3} AE'$ 的最小值；

（3） $M$ 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 $N$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $AD$ 上的两点，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ，则 $\frac{DE}{CF}$ 的值为　　；

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 7$ ， $CD = 4$ ，点 $E$ 是 $AD$ 上的一点，连接 $CE$ ， $BD$ ，且 $CE ⊥ BD$ ，则 $\frac{CE}{BD}$ 的值为　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $AB$ 上一点，连接 $DE$ ，过点 $C$ 作 $DE$ 的垂线交 $ED$ 的延长线于点 $G$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $DE \cdot AB = CF \cdot AD$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $Rt Δ ABD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $AD = 9$ ， $\tan ∠ ADB = \frac{1}{3}$ ，将 $ΔABD$ 沿 $BD$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $ΔCBD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ ， $AD$ 上，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ．

①求 $\frac{DE}{CF}$ 的值；

②连接 $BF$ ，若 $AE = 1$ ，写出 $BF$ 的长度．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点 $(C$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合）连接 $AC$ ， $BC$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $D$ ．将 $ΔACD$ 沿 $AC$ 翻折，点 $D$ 落在点 $E$ 处得 $ΔACE$ ， $AE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ BAC = 15 °$ ， $OA = 2$ ，求阴影部分面积．

渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元 $/$ 千克，根据市场调查发现，批发价定为48元 $/$ 千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．

（1）写出工厂每天的利润 $W$ 元与降价 $x$ 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30 °$ 的河床斜坡边，斜坡 $BC$ 长为48米，在点 $D$ 处测得桥墩最高点 $A$ 的仰角为 $35 °$ ， $CD$ 平行于水平线 $BM$ ， $CD$ 长为 $16 \sqrt{3}$ 米，求桥墩 $AB$ 的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$