将一块长比宽多3cm的长方形铁皮四角各剪去一个边长为4cm的-优题课

在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 上， $AE = AD$ ， $DF ⊥ AE$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $DF = AB$ ；

（2）若 $∠ FDC = 30 °$ ，且 $AB = 4$ ，求 $AD$ ．

已知抛物线 $F : y = x^{2} + bx + c$ 的图象经过坐标原点 $O$ ，且与 $x$ 轴另一交点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $0)$ ．

（1）求抛物线 $F$ 的解析式；

（2）如图 1 ，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m (m > 0)$ 与抛物线 $F$ 相交于点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ 和点 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ （点 $A$ 在第二象限），求 $y_{2} - y_{1}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）；

（3）在（2）中，若 $m = \frac{4}{3}$ ，设点 $A'$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，如图 2 ．

①判断△ $AA' B$ 的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点 $P$ ，使得以点 $A$ 、 $B$ 、 $A'$ 、 $P$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $CD$ 为 $∠ ACB$ 的平分线，将 $∠ ACB$ 沿 $CD$ 所在的直线对折，使点 $B$ 落在点 $B'$ 处，连接 $A B^{'}$ ， $B B^{'}$ ，延长 $CD$ 交 $B B^{'}$ 于点 $E$ ，设 $∠ ABC = 2 α (0 ° < α < 45 °)$ ．

（1）如图1，若 $AB = AC$ ，求证： $CD = 2 BE$ ；

（2）如图2，若 $AB \neq AC$ ，试求 $CD$ 与 $BE$ 的数量关系（用含 $α$ 的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段 $BC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转角 $(α + 45 °)$ ，得到线段 $FC$ ，连接 $EF$ 交 $BC$ 于点 $O$ ，设 $ΔCOE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔCOF$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ （用含 $α$ 的式子表示）．

图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口 $BC$ 宽3.9米，门卫室外墙 $AB$ 上的 $O$ 点处装有一盏路灯，点 $O$ 与地面 $BC$ 的距离为3.3米，灯臂 $OM$ 长为1.2米（灯罩长度忽略不计）， $∠ AOM = 60 °$ ．

（1）求点 $M$ 到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏 $CD$ 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.01米）

为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线生态保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 $20 %$ ，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？