计算：-优题课

如图（1）放置两个全等的含有 $30 °$ 角的直角三角板 $ABC$ 与 $DEF (∠ B = ∠ E = 30 °)$ ，若将三角板 $ABC$ 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$ 与点 $E$ 重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，如图（2）， $AB$ 与 $DF$ 、 $DE$ 分别交于点 $P$ 、 $M$ ， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $Q$ ，其中 $AC = DF = \sqrt{3}$ ，设三角板 $ABC$ 移动时间为 $x$ 秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$ 的代数式表示 $ΔAMQ$ 的面积；

（2）计算 $x$ 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离 $y (m)$ 与步行时间 $x (\min)$ 之间的函数关系式如图中折线段 $AB - BC - CD$ 所示．

（1）小丽与小明出发　　 $\min$ 相遇；

（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．

①求小丽和小明步行的速度各是多少？

②计算出点 $C$ 的坐标，并解释点 $C$ 的实际意义．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $AC$ 上一点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，且 $CE$ 平分 $∠ ACB$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $DE$ ，若 $∠ A = 30 °$ ，求 $\frac{BE}{DE}$ ．

某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位： $m^{3})$ 和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：

日用水量 $/ m^{3}$	$0 ⩽ x < 0.1$	$0.1 ⩽ x < 0.2$	$0.2 ⩽ x < 0.3$	$0.3 ⩽ x < 0.4$	$0.4 ⩽ x < 0.5$
频数	0	4	2	4	10

使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：

日用水量 $/ m^{3}$	$0 ⩽ x < 0.1$	$0.1 ⩽ x < 0.2$	$0.2 ⩽ x < 0.3$	$0.3 ⩽ x < 0.4$
频数	2	6	8	4

（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AD$ 的中点，连接 $CE$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ．求证： $FA = AB$ ．