（本题12分）某位收藏爱好者鉴定一件物品时，将正品错误地鉴定为赝品的概率为
，将赝品错误地鉴定为正品的概率为
，已知一批物品共有4件，其中正品3件，赝品1件.（1）求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件，赝品2件的概率；（2）求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数
的分布列及数学期望.
已知函数
（
为自然对数的底数）.
（1）求函数
在
上的单调区间；
（2）设函数
，是否存在区间
，使得当
时函数
的值域为
，若存在求出
，若不存在说明理由.
已知椭圆
：
的离心率为
且与双曲线
：
有共同焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作的切线
，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为
，过椭圆上的一点
作
轴的垂线交轴于点
，若
点满足
，
，连结
交
于点
，求证：
.
数列
，
满足
.
（1）若是等差数列，求证：为等差数列；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
已知长方体
，点
为
的中点.
（1）求证：
面
；
（2）若
，试问在线段
上是否存在点
使得
，若存在求出
，若不存在，说明理由.
对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图.
（1）图中纵坐标
处刻度不清，根据图表所提供的数据还原；
（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取
个元件，寿命为
之间的应抽取几个；
（3）从（2）中抽出的寿命落在之间的元件中任取
个元件，求事件“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”的概率.