已知某圆的极坐标方程为
，若点
在该圆上，则
的最大值是_______
过点
且与双曲线
仅有一个公共点的直线共有条.
的单调递增区间是_____________
已知两个正数
,可按规则
扩充为一个新数
,在
三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.
（1）若
,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；
（2）若
，经过6次操作后扩充所得的数为
（
为正整数），则的值分别为____________
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润
（万元）与机器运转时间
（年数，
）的关系为
.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.
设直线
与圆
相交于
，
两点，且弦
的长为
，则实数
的值是.