已知方程的两个实根为，且满足，设，求证：。-优题课

设平面直角坐标系 $x o y$ 中，设二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + b (x \in R)$ 的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$ 。
（1）求实数 $b$ 的取值范围；
（2）求圆 $C$ 的方程；
（3）问圆 $C$ 是否经过某定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论。

某地有三家工厂，分别位于矩形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ ，及 $C D$ 的中点 $P$ 处，已知 $A B = 20$ $k m$ , $C D = 10 k m$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $A B C D$ 的区域上（含边界），且 $A, B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $A O, B O, O P$ ，设排污管道的总长为 $y k m$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $∠ B A O = θ (r a d)$ ，将 $y$ 表示成 $θ$ 的函数关系式；
②设 $O P = x (k m)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

在四面体 $A B C D$ 中， $C B = C D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $E, F$ 分别是 $A B, B D$ 的中点，

求证：

（I）直线 $E F ∥ 面 A C D$ ；
（II） $面 E F C ⊥ 面 B C D$ 。

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $o x$ 轴为始边做两个锐角 $α, β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于 $A, B$ 两点，已知 $A, B$ 的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

（1）求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $α + 2 β$ 的值.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $l, M, N$ 是 $l$ 上的两个动点， $\overset{⇀}{F_{1} M} \cdot \overset{⇀}{F_{2} N} = 0$ 。

（Ⅰ）若 $|\overset{⇀}{F_{1} M}| = |\overset{⇀}{F_{2} N}| = 2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $|M N|$ 取最小值时， $\overset{⇀}{F_{1} M} + \overset{⇀}{F_{2} N}$ 与 $\overset{⇀}{F_{1} F_{2}}$ 共线。