探究:(1)a克糖水中有b克糖(a<b<0),则糖的质量与糖-优题课

探究:
(1)a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
(2)我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
(3)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE="CD=c," 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.

科目数学题型解答题难度中等

达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注 $. 5$ 月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．

八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表

去图书馆的次数	0次	1次	2次	3次	4次及以上
人数	8	12	$a$	10	4

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；

（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2} - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - \frac{8}{3})$ ，顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$ ，过点 $H$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $Q$ 在 $y$ 轴的右侧．

（1）求 $a$ 的值及点 $A$ ， $B$ 的坐标；

（2）当直线 $l$ 将四边形 $ABCD$ 分为面积比为 $3 : 7$ 的两部分时，求直线 $l$ 的函数表达式；

（3）当点 $P$ 位于第二象限时，设 $PQ$ 的中点为 $M$ ，点 $N$ 在抛物线上，则以 $DP$ 为对角线的四边形 $DMPN$ 能否为菱形？若能，求出点 $N$ 的坐标；若不能，请说明理由．

如图①， $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 45 °$ ， $AH ⊥ BC$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $AH$ 上，且 $DH = CH$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BD = AC$ ；

（2）将 $ΔBHD$ 绕点 $H$ 旋转，得到 $ΔEHF$ （点 $B$ ， $D$ 分别与点 $E$ ， $F$ 对应），连接 $AE$ ．

①如图②，当点 $F$ 落在 $AC$ 上时， $(F$ 不与 $C$ 重合），若 $BC = 4$ ， $\tan C = 3$ ，求 $AE$ 的长；

②如图③，当 $ΔEHF$ 是由 $ΔBHD$ 绕点 $H$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到时，设射线 $CF$ 与 $AE$ 相交于点 $G$ ，连接 $GH$ ，试探究线段 $GH$ 与 $EF$ 之间满足的等量关系，并说明理由．

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了 $x$ 棵橙子树．

（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数 $y$ （个 $)$ 与 $x$ 之间的关系；

（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $CB$ 为半径作 $⊙ C$ ，交 $AC$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $BD$ ， $BE$ ．

（1）求证： $ΔABD ∽ ΔAEB$ ；

（2）当 $\frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ 时，求 $\tan E$ ；

（3）在（2）的条件下，作 $∠ BAC$ 的平分线，与 $BE$ 交于点 $F$ ，若 $AF = 2$ ，求 $⊙ C$ 的半径．