（本题满分10分第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：二-优题课

（本题满分10分第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知：二次函数≠0的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线≠0，≠0，且满足≠0，1，则我们称抛物线互为“友好抛物线”，请写出当时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$
类型	足球	羽毛球	乒乓球	篮球	排球	其他
人数		10	4		6	2

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有　　人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（2）被调查学生的总数为　　人，其中，最喜欢篮球的有　　人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $AC$ 上，且 $AF = CE$ ．

求证： $BE = DF$ ．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，顶点为 $G$ ．

（1）求抛物线和直线 $AC$ 的解析式；

（2）如图1，设 $E (m, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点，若 $ΔCGE$ 和 $ΔCGO$ 的面积满足 $S_{ΔCGE} = \frac{4}{3} S_{ΔCGO}$ ，求点 $E$ 的坐标；

（3）如图2，设点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$ 轴向右运动，运动时间为 $ts$ ，点 $M$ 为射线 $AC$ 上一动点，过点 $M$ 作 $MN / / x$ 轴交抛物线对称轴右侧部分于点 $N$ ．试探究点 $P$ 在运动过程中，是否存在以 $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在四边形 $ABCD$ 中，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $A C^{2} = AB \cdot AD$ ，且 $AD = AB + AC$ ，则我们称这样的四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 称为“黄金角”．

【概念理解】（1）已知四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 为“黄金角”， $AB < AD$ ，若 $AD = 1$ ，则 $AC =$ 　　．

【问题探究】（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $BC / / AD$ ， $∠ BAC = ∠ DAC = ∠ D = 36 °$ ．求证：四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”．

【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形” $ABC A_{1}$ 中， $∠ BA A_{1}$ 为“黄金角”， $AB < A A_{1}$ ，在四边形 $ABC A_{1}$ 外部依次作△ $A A_{1} A_{2}$ ，△ $A A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ ，使四边形 $AC A_{1} A_{2}$ ， $A A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ 均为“黄金四边形”，且满足 $∠ CA A_{2}$ ， $∠ A_{n} A A_{n + 2} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$ 均为“黄金角”， $A A_{n} < A A_{n + 1} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$

①若 $AC = 1$ ，则第 $n$ 个“黄金四边形”中， $A A_{n} =$ 　　（用含 $n$ 的式子表示）．

②若“黄金角” $∠ BA A_{1} = 80 °$ ，则当 $A$ ， $B$ ， $A_{n}$ 三点第一次在同一条直线上时， $n =$ 　　．

某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价 $x$ （元 $)$ 不低于60元，而市场要求 $x$ 不得超过100元．

（1）求出每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）求出每天的销售利润 $W$ （元 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并求出当 $x$ 为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值；

（3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价 $x$ 最低可定为多少元？