我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形，你可以利用-优题课

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $AP$ ， $BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $OM$ ， $ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ ．当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证： $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长．

开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $BD$ 的底部 $D$ 在同一水平线上．已知佛像头部 $BC$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $BD$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77)$ ．

如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 $O$ 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与大正方形的一边交于点 $A (1, 2)$ ，且经过小正方形的顶点 $B$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．

调查问卷

1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题

2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．

$A$ ．校内课业负担重

$B$ ．校外学习任务重

$C$ ．学习效率低

$D$ ．其他

平均每天睡眠时间 $x$ （时 $)$ 分为5组：① $5 ⩽ x < 6$ ；② $6 ⩽ x < 7$ ；③ $7 ⩽ x < 8$ ；④ $8 ⩽ x < 9$ ；⑤ $9 ⩽ x < 10$ ．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第　　（填序号）组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为　　；

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．

（1）计算： $3^{- 1} - \sqrt{\frac{1}{9}} + {(3 - \sqrt{3})}^{0}$ ；

（2）化简： $(1 - \frac{1}{x}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2}}$ ．