如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE-优题课

如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边 $B$ 处测得对岸边 $A$ 处一棵大树位于北偏东 $60 °$ 方向，他以 $1.5 m / s$ 的速度沿着河岸向东步行 $40 s$ 后到达 $C$ 处，此时测得大树位于北偏东 $45 °$ 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为 $x$ ， $y$ ．请用树状图或列表法求点 $(x, y)$ 落在平面直角坐标系第一象限内的概率．

先化简，再求值： $(\frac{2 x + 1}{x + 1} + x - 1) \div \frac{x + 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - x - 2 = 0$ ．

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - 3)}^{0} - 2 \cos 30 ° + | 3 - \sqrt{12} |$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + kx + h (a > 0)$ ．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$ 轴　　（填上方或下方），即 $4 ah - k^{2}$ 　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$ 轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，分布在 $x$ 轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$ 轴下方，请你结合 $A$ 、 $B$ 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_{1} < x_{2}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a > 0$ ， $(a + c) (a + b + c) < 0$ 时， ${(b - c)}^{2} > 4 a (a + b + c)$ ．