计算:||;-优题课

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为4，点 $P$ 是 $AB$ 边上的一个动点，连接 $CP$ ，过点 $P$ 作 $PC$ 的垂线交 $AD$ 于点 $E$ ，以 $PE$ 为边作正方形 $PEFG$ ，顶点 $G$ 在线段 $PC$ 上，对角线 $EG$ 、 $PF$ 相交于点 $O$ ．

（1）若 $AP = 1$ ，则 $AE =$ 　　；

（2）①求证：点 $O$ 一定在 $ΔAPE$ 的外接圆上；

②当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $O$ 也随之运动，求点 $O$ 经过的路径长；

（3）在点 $P$ 从点 $A$ 到点 $B$ 的运动过程中， $ΔAPE$ 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $AB$ 边的距离的最大值．

农经公司以30元 $/$ 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 $p$ （千克）与销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）	30	35	40	45	50
日销售量 $p$ （千克）	600	450	300	150	0

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 $p$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出 $a$ 元 $(a > 0)$ 的相关费用，当 $40 ⩽ x ⩽ 45$ 时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求 $a$ 的值．（日获利 $=$ 日销售利润 $-$ 日支出费用）

我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在 $ΔABC$ 中， $AO$ 是 $BC$ 边上的中线， $AB$ 与 $AC$ 的“极化值”就等于 $A O^{2} - B O^{2}$ 的值，可记为 $AB$ △ $AC = A O^{2} - B O^{2}$ ．

（1）在图1中，若 $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = 8$ ， $AC = 6$ ， $AO$ 是 $BC$ 边上的中线，则 $AB$ △ $AC =$ 　　， $OC$ △ $OA =$ 　　；

（2）如图2，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 4$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，求 $AB$ △ $AC$ 、 $BA$ △ $BC$ 的值；

（3）如图3，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AO$ 是 $BC$ 边上的中线，点 $N$ 在 $AO$ 上，且 $ON = \frac{1}{3} AO$ ．已知 $AB$ △ $AC = 14$ ， $BN$ △ $BA = 10$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

如图，将 $ΔABC$ 沿着射线 $BC$ 方向平移至△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使点 $A^{'}$ 落在 $∠ ACB$ 的外角平分线 $CD$ 上，连接 $A A^{'}$ ．

（1）判断四边形 $AC C^{'} A^{'}$ 的形状，并说明理由；

（2）在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AB = 24$ ， $\cos ∠ BAC = \frac{12}{13}$ ，求 $C B^{'}$ 的长．

星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．