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题文

已知 是定义在  上的增函数,且对任意的都满足 .
(Ⅰ)求的值;   (Ⅱ)若,证明
(Ⅲ)若,解不等式 .

科目 数学   题型 解答题   难度 容易
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如图,在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中,侧棱 A A 1 底面 A B C A B = A C = 2 A A 1 B A C = 120°, D , D 1 分别是线段 B C , B 1 C 1 的中点, P 是线段 A D 的中点.
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(I)在平面 A B C 内,试做出过点 P 与平面 A 1 B C 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l 平面 A D D 1 A 1
(II)设(I)中的直线 l A B 于点 M ,交 A C 于点 N ,求二面角 A - A 1 M - N 的余弦值.

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生

image.png

(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 p i ( i = 1 , 2 , 3 )
(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行 n 次后,统计记录输出y的值为 i ( i = 1 , 2 , 3 的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)

运行次数 n 输出 y 的值为1的频数
输出 y 的值为2的频数
输出 y 的值为3的频数
30
14
6
10




2100
1027
376
697

乙的频数统计图(部分)

运行次数 n 输出 y 的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出 y 的值为3的频数
30
12
11
7




2100
1051
696
353

n = 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为 i ( i = 1 , 2 , 3 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;
(III)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出 y 的值为2的次数 ξ 的分布列及数学期望.

A B C 中,角 A , B , C 的对边分别 a , b , c ,且 2 cos 2 A - B 2 cos B - sin ( A - B ) sin B + cos ( A + C ) = - 3 5 .
(1)求 cos A 的值;
(2)若 a = 4 2 , b = 5 ,求向量 B A B C 方向上的投影.

在等差数列 a n 中, a 1 + a 3 = 8 ,且 a 4 a 2 a 9 的等比中项,求数列 a n 的首项,公差及前 n 项和.

已知函数 f x = x 2 + 2 x + a , x < 0 ln x , x > 0 ,其中 a 是实数.设 A x 1 , f x 1 , B x 2 , f x 2 为该函数图象上的两点,且 x 1 < x 2
(Ⅰ)指出函数 f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 f x 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直,且 x 2 < 0 ,证明: x 2 - x 1 1
(Ⅲ)若函数 f x 的图象在点 A , B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

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