如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE90°.-优题课

为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别： $A$ 表示“很喜欢”， $B$ 表示“喜欢”， $C$ 表示“一般”， $D$ 表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取　　名学生进行统计调查，扇形统计图中， $D$ 类所对应的扇形圆心角的大小为　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的 $B$ 类的学生大约有多少人？

如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在一条直线上， $CE$ 与 $BF$ 交于点 $G$ ， $∠ A = ∠ 1$ ， $CE / / DF$ ，求证： $∠ E = ∠ F$ ．

计算： ${(2 x^{2})}^{3} - x^{2} \cdot x^{4}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 2, 0)$ ， $C (6, 0)$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接 $AB$ ， $AC$ ，设点 $P (m, n)$ 是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $PG / / AB$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $x$ 轴于点 $G$ ．设线段 $DG$ 的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $m$ 的函数关系式，并注明 $m$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若 $ΔPDG$ 的面积为 $\frac{49}{12}$ ，

①求点 $P$ 的坐标；

②设 $M$ 为直线 $AP$ 上一动点，连接 $OM$ ，直线 $OM$ 交直线 $AC$ 于点 $S$ ，则点 $M$ 在运动过程中，在抛物线上是否存在点 $R$ ，使得 $ΔARS$ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$ 及其对应的点 $R$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $m$ ， $n$ ，我们可将这个两位数记为 $\overset{̅}{mn}$ ，易知 $\overset{̅}{mn} = 10 m + n$ ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $\overset{̅}{abc} = 100 a + 10 b + c$ ．

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若 $\overset{̅}{2 x} + \overset{̅}{x 3} = 45$ ，则 $x =$ 　　；

②若 $\overset{̅}{7 y} - \overset{̅}{y 8} = 26$ ，则 $y =$ 　　；

③若 $\overset{̅}{t 93} + \overset{̅}{5 t 8} = \overset{̅}{13 t 1}$ ，则 $t =$ 　　；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数 $\overset{̅}{mn}$ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $\overset{̅}{nm}$ ，则 $\overset{̅}{mn} + \overset{̅}{nm}$ 一定能被　　整除， $\overset{̅}{mn} - \overset{̅}{nm}$ 一定能被　　整除， $\overset{̅}{mn} \cdot \overset{̅}{nm} - mn$ 一定能被　　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 $532 - 235 = 297)$ ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　　；

②设任选的三位数为 $\overset{̅}{abc}$ （不妨设 $a > b > c)$ ，试说明其均可产生该黑洞数．