已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于5.(1)求点的轨迹-优题课

题文

已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于5.
(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为8，求直线的方程

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已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $p$ 的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。
（1）若 $a_{n} = 3 n + 1$ ，是否存在 $m, n \in N^{*}$ ，有 $a_{m} + a_{m + 1} = a_{k}$ ？请说明理由；
（2）若 $b_{n} = a q^{n}$ （ $a, q$ 为常数，且 $a q \neq 0$ ）对任意 $m$ 存在 $k$ ，有 $b_{m} \cdot b_{m + 1} = b_{k}$ ，试求 $a, q$ 满足的充要条件；
（3）若 $a_{n} = 2 n + 1, b_{n} = 3^{n}$ 试确定所有的 $p$ ，使数列 ${b_{n}}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和式数列中 ${a_{n}}$ 的一项，请证明。

已知双曲线 $C$ 的中心是原点，右焦点为 $F (\sqrt{3}, 0)$ ，一条渐近线 $m : x + \sqrt{2} y = 0$ ，设过点 $A (- 3 \sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\overset{⇀}{e} = (1, k)$ .
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）若过原点的直线 $a / / l$ ，且 $a$ 与 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$ ，求 $k$ 的值；
（3）证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$ ，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$ .