如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交-优题课

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6, 0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 4)$ ，过点 $P$ 作 $PN / / x$ 轴，分别交 $AO$ ， $AB$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $AO$ 的长为　　， $AB$ 的长为　　；

（2）当 $t = 1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $MN$ 的长为　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $MN$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $ΔAOE$ 和 $ΔABE$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $t = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的最大值为　　．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边上一点，以点 $O$ 为圆心， $OB$ 长为半径的圆与边 $AB$ 相交于点 $D$ ，连接 $DC$ ，当 $DC$ 为 $⊙ O$ 的切线时．

（1）求证： $DC = AC$ ；

（2）若 $DC = DB$ ， $⊙ O$ 的半径为1，请直接写出 $DC$ 的长为　　．

某工程队准备修建一条长 $3000 m$ 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 $25 %$ ，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？

某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市 $m$ 吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）根据以上信息直接补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　　度；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的垂直平分线分别与边 $AB$ 和边 $CD$ 的延长线交于点 $M$ ， $N$ ，与边 $AD$ 交于点 $E$ ，垂足为点 $O$ ．

（1）求证： $ΔAOM ≅ ΔCON$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $AD = 6$ ，请直接写出 $AE$ 的长为　　．

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