；-优题课

计算：

（1） $\sqrt{16} - | - 3 | + (- 4) \times 2^{- 1}$ ；

（2） ${(x + 1)}^{2} + x (x - 2) - (x + 1) (x - 1)$

如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 6 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 5, 0)$ 、 $B (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 5)$ ，点 $P$ 是抛物线上的动点，连接 $PA$ 、 $PC$ ， $PC$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点 $P$ 的坐标为 $(- 2, 3)$ ，请求出此时 $ΔAPC$ 的面积；

（3）过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $H$ ，交直线 $AC$ 于点 $E$ ，如图2．

①若 $∠ APE = ∠ CPE$ ，求证： $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{7}$ ；

② $ΔAPE$ 能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不能，请说明理由．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $BC > AB$ ， $∠ BAD$ 的平分线 $AF$ 与 $BD$ 、 $BC$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，点 $O$ 是 $BD$ 的中点，直线 $OK / / AF$ ，交 $AD$ 于点 $K$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．

（1）求证：① $ΔDOK ≅ ΔBOG$ ；② $AB + AK = BG$ ；

（2）若 $KD = KG$ ， $BC = 4 - \sqrt{2}$ ．

①求 $KD$ 的长度；

②如图2，点 $P$ 是线段 $KD$ 上的动点（不与点 $D$ 、 $K$ 重合）， $PM / / DG$ 交 $KG$ 于点 $M$ ， $PN / / KG$ 交 $DG$ 于点 $N$ ，设 $PD = m$ ，当 $S_{ΔPMN} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $m$ 的值．

如图，在大楼 $AB$ 的正前方有一斜坡 $CD$ ， $CD = 4$ 米，坡角 $∠ DCE = 30 °$ ，小红在斜坡下的点 $C$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，在斜坡上的点 $D$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，其中点 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一直线上．

（1）求斜坡 $CD$ 的高度 $DE$ ；

（2）求大楼 $AB$ 的高度（结果保留根号）

在太空种子种植体验实践活动中，为了解"宇番2号"番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量 $x$ （单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：

"宇番2号"番茄挂果数量统计表

挂果数量 $x$ （个）	频数（株）	频率
$25 ⩽ x < 35$	6	0.1
$35 ⩽ x < 45$	12	0.2
$45 ⩽ x < 55$	$a$	0.25
$55 ⩽ x < 65$	18	$b$
$65 ⩽ x < 75$	9	0.15

请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）统计表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）若绘制"番茄挂果数量扇形统计图"，则挂果数量在" $35 ⩽ x < 45$ "所对应扇形的圆心角度数为　　 $°$ ；

（4）若所种植的"宇番2号"番茄有1000株，则可以估计挂果数量在" $55 ⩽ x < 65$ "范围的番茄有　　株．