如图，在正方形ABCD中，等边的顶点E、F分别在BC和CD上-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 交 $x$ 轴于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点 $D$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 $ADCP$ 面积的最大值．

（3）点 $M$ 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 $N$ ，使 $ΔMNO$ 为等腰直角三角形，且 $∠ MNO$ 为直角？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，是具有公共边 $AB$ 的两个直角三角形，其中， $AC = BC$ ， $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ ．

（1）如图1，若延长 $DA$ 到点 $E$ ，使 $AE = BD$ ，连接 $CD$ ， $CE$ ．

①求证： $CD = CE$ ， $CD ⊥ CE$ ；

②求证： $AD + BD = \sqrt{2} CD$ ；

（2）若 $ΔABC$ 与 $ΔABD$ 位置如图2所示，请直接写出线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 的数量关系．

节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．

（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？

（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

为丰富学生的文体生活，育红学校准备成立“声乐、演讲、舞蹈、足球、篮球”五个社团，要求每个学生都参加一个社团且每人只能参加一个社团．为了了解即将参加每个社团的大致人数，学校对部分学生进行了抽样调查在整理调查数据的过程中，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）被抽查的学生一共有多少人？

（2）将条形统计图补充完整．

（3）若全校有学生1500人，请你估计全校有意参加“声乐”社团的学生人数．

（4）从被抽查的学生中随意选出1人，该学生恰好选择参加“演讲”社团的概率是多少？

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A (- 4, 4)$ ， $B (- 1, 1)$ ， $C (- 1, 4)$ ．

（1）画出与 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B C_{2}$ ，画出△ $A_{2} B C_{2}$ ．

（3）求线段 $AB$ 在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留 $π)$