如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线-优题课

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(0＜m°＜180º）得线段PQ.

（1）当点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上（C点除外），且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系；
②当点P在线段OB上运动时，存在点Q，使PQ=QD，直接写出n的取值范围.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $C (3, 1)$ ，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx - \frac{3}{2}$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

（2）把 $ΔABC$ 沿 $x$ 轴正方向平移，当点 $B$ 落在抛物线上时，求 $ΔABC$ 扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$ 的点 $P$ ，使 $ΔABP$ 是以 $AB$ 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $H$ 是 $ΔABC$ 的内心，

$AH$ 的延长线和三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连接 $DB$ ．

（1）求证： $DH = DB$ ；

（2）过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $CE = 1$ ，圆 $O$ 的直径为5．

①求证： $EF$ 为圆 $O$ 的切线；

②求 $DF$ 的长．

为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由 $A$ 、 $B$ 两个工程公司承担建设，已知 $A$ 工程公司单独建设完成此项工程需要180天， $A$ 工程公司单独施工45天后， $B$ 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．

（1）求 $B$ 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？

（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工， $A$ 工程公司建设其中一部分用了 $m$ 天完成， $B$ 工程公司建设另一部分用了 $n$ 天完成，其中 $m$ ， $n$ 均为正整数，且 $m < 46$ ， $n < 92$ ，求 $A$ 、 $B$ 两个工程公司各施工建设了多少天？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $A (m, 2)$ ，点 $B (- 1, - 4)$ ．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）把直线 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴负方向平移2个单位后得到直线 $y_{3}$ ，直线 $y_{3}$ 与双曲线 $y_{2}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，当 $y_{2} > y_{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围．

某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．

组别	单次营运里程“ $x$ ”（公里）	频数
第一组	$0 < x ⩽ 5$	72
第二组	$5 < x ⩽ 10$	$a$
第三组	$10 < x ⩽ 15$	26
第四组	$15 < x ⩽ 20$	24
第五组	$20 < x ⩽ 25$	30

根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：

（1）①表中 $a =$ 　　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　　；③请把频数分布直方图补充完整；

（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；

（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机 $(3$ 男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．