如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交-优题课

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：
（3）若tanC＝，DE＝2，求AD的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

小黄准备给长 $8 m$ ，宽 $6 m$ 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 $ABCD$ 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足 $PQ / / AD$ ，如图所示．

（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元 $/ m^{2}$ ，面积为 $S (m^{2})$ ，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元 $/ m^{2}$ ，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求 $S$ 的最大值；

（2）若区域Ⅰ满足 $AB : BC = 2 : 3$ ，区域Ⅱ四周宽度相等

①求 $AB$ ， $BC$ 的长；

②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元 $/ m^{2}$ ，乙、丙瓷砖单价之比为 $5 : 3$ ，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．

如图，过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x$ 上一点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，交抛物线于另一点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，已知点 $A$ 的横坐标为 $- 2$ ．

（1）求抛物线的对称轴和点 $B$ 的坐标；

（2）在 $AB$ 上任取一点 $P$ ，连接 $OP$ ，作点 $C$ 关于直线 $OP$ 的对称点 $D$ ；

①连接 $BD$ ，求 $BD$ 的最小值；

②当点 $D$ 落在抛物线的对称轴上，且在 $x$ 轴上方时，求直线 $PD$ 的函数表达式．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $⊙ O$ （圆心 $O$ 在 $ΔABC$ 内部）经过 $B$ 、 $C$ 两点，交 $AB$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 于点 $F$ ．延长 $CO$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，作 $ED / / AC$ 交 $CG$ 于点 $D$

（1）求证：四边形 $CDEF$ 是平行四边形；

（2）若 $BC = 3$ ， $\tan ∠ DEF = 2$ ，求 $BG$ 的值．

在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点 $A (2, 3)$ ， $B (4, 4)$ ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．

（1）在图1中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ 的横、纵坐标之和等于点 $A$ 的横坐标；

（2）在图2中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ ， $B$ 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．

（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．

（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 $A$ 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）