先化简，再求值：，其中．-优题课

边长为6的等边 $ΔABC$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AC$ 、 $BC$ 边上， $DE / / AB$ ， $EC = 2 \sqrt{3}$ ．

（1）如图1，将 $ΔDEC$ 沿射线 $EC$ 方向平移，得到△ $D' E' C'$ ，边 $D' E'$ 与 $AC$ 的交点为 $M$ ，边 $C' D'$ 与 $∠ ACC'$ 的角平分线交于点 $N$ ，当 $CC'$ 多大时，四边形 $MCND'$ 为菱形？并说明理由．

（2）如图2，将 $ΔDEC$ 绕点 $C$ 旋转 $∠ α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到△ $D' E' C$ ，连接 $AD'$ 、 $BE'$ ．边 $D' E'$ 的中点为 $P$ ．

①在旋转过程中， $AD'$ 和 $BE'$ 有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接 $AP$ ，当 $AP$ 最大时，求 $AD'$ 的值．（结果保留根号）

工人师傅用一块长为 $10 dm$ ，宽为 $6 dm$ 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 $12 d m^{2}$ 时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $D$ 为 $\hat{BC}$ 的中点，作 $DE ⊥ AC$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $DA$ ．

（1）求证： $EF$ 为半圆 $O$ 的切线；

（2）若 $DA = DF = 6 \sqrt{3}$ ，求阴影区域的面积．（结果保留根号和 $π)$

某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹 $($ tái $)$ 共100吨．第一批蒜薹价格为4000元 $/$ 吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元 $/$ 吨．这两批蒜薹共用去16万元．

（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？

（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 $CD$ 的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在 $A$ 处测得五楼顶部点 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，在 $B$ 处测得四楼顶部点 $E$ 的仰角为 $30 °$ ， $AB = 14$ 米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$