已知AB是⊙O的直径，AB4，点C在线段AB的延长线上运动，-优题课

已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.

（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　　人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若获得一等奖的同学中有 $\frac{1}{4}$ 来自七年级， $\frac{1}{2}$ 来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $OC$ 上一点，连接 $EB$ ．过点 $A$ 作 $AM ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ， $AM$ 与 $BD$ 相交于点 $F$ ．求证： $OE = OF$ ．

先化简，再求值： ${(a + 3)}^{2} - (a + 1) (a - 1) - 2 (2 a + 4)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

计算： $\tan 45 ° + {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

如图，已知抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\tan ∠ CAB = \frac{3}{2}$ ．设抛物线的顶点为 $M$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为抛物线的对称轴上一点， $Q (n, 0)$ 为 $x$ 轴上一点，且 $PQ ⊥ PC$ ．

①当点 $P$ 在线段 $MN$ （含端点）上运动时，求 $n$ 的变化范围；

②在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，求点 $P$ 到线段 $CQ$ 的距离；

③在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，将线段 $CQ$ 向上平移 $t$ 个单位长度，使得线段 $CQ$ 与抛物线有两个交点，求 $t$ 的取值范围．

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