某学校初二级甲、乙两班共有学生150人，他们的期末考试数学平-优题课

4张相同的卡片分别写着数字 $- 1$ 、 $- 3$ 、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．

（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是　　；

（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 $y = kx + b$ 中的 $k$ ；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 $y = kx + b$ 中的 $b$ ．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．

江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．

最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

最喜爱的项目	人数
篮球	20
羽毛球	9
自行车	10
游泳	$a$
其他	$b$
合计

根据以上信息，请回答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是　　， $a + b =$ 　　．

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为　　．

（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．

如图①，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$ 轴，并沿 $x$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧），连接 $PQ$ ，在线段 $PQ$ 上方抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $DP$ 、 $DQ$ ．

（Ⅰ）若点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $ΔDPQ$ 面积的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $ΔDPQ$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

【发现】如图①，已知等边 $ΔABC$ ，将直角三角板的 $60 °$ 角顶点 $D$ 任意放在 $BC$ 边上（点 $D$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），使两边分别交线段 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $AB = 6$ ， $AE = 4$ ， $BD = 2$ ，则 $CF =$ 　　；

（2）求证： $ΔEBD ∽ ΔDCF$ ．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$ 在 $BC$ 边上移动，保持三角板与边 $AB$ 、 $AC$ 的两个交点 $E$ 、 $F$ 都存在，连接 $EF$ ，如图②所示，问：点 $D$ 是否存在某一位置，使 $ED$ 平分 $∠ BEF$ 且 $FD$ 平分 $∠ CFE$ ？若存在，求出 $\frac{BD}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$ 处（其中 $∠ MON = ∠ B)$ ，使两条边分别交边 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 、 $F$ 均不与 $ΔABC$ 的顶点重合），连接 $EF$ ．设 $∠ B = α$ ，则 $ΔAEF$ 与 $ΔABC$ 的周长之比为　　（用含 $α$ 的表达式表示）．

如图，在以线段 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上取一点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．将 $ΔABC$ 沿 $AB$ 翻折后得到 $ΔABD$ ．

（1）试说明点 $D$ 在 $⊙ O$ 上；

（2）在线段 $AD$ 的延长线上取一点 $E$ ，使 $A B^{2} = AC \cdot AE$ ．求证： $BE$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $AE$ 、 $CB$ 相交于点 $F$ ，若 $BC = 2$ ， $AC = 4$ ，求线段 $EF$ 的长．