计算：．-优题课

已知直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ ．

（1）求证：直线 $l$ 与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线 $l$ 与该抛物线两交点为 $A$ ， $B$ ， $O$ 为原点，当 $k = - 2$ 时，求 $ΔOAB$ 的面积．

如图，在大楼 $AB$ 正前方有一斜坡 $CD$ ，坡角 $∠ DCE = 30 °$ ，楼高 $AB = 60$ 米，在斜坡下的点 $C$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，在斜坡上的 $D$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，其中点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上．

（1）求坡底 $C$ 点到大楼距离 $AC$ 的值；

（2）求斜坡 $CD$ 的长度．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 过点 $A (3, 4)$ ，直线 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $C (6, 0)$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线 $BC$ 交反比例函数图象于点 $B$ ．

（1）求 $k$ 的值与 $B$ 点的坐标；

（2）在平面内有点 $D$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 $D$ 点的坐标．

在端午节来临之际，某商店订购了 $A$ 型和 $B$ 型两种粽子， $A$ 型粽子28元 $/$ 千克， $B$ 型粽子24元 $/$ 千克，若 $B$ 型粽子的数量比 $A$ 型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．

求满足不等式组 $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 2) ⩽ 8 \\ \frac{1}{2} x - 1 < 3 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ 的所有整数解．