如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A-优题课

如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k ＞ 0 ， x ＞ 0 ）$ 的图象相交于点 $A$ 和点 $C （ 3, 2 ）$ ，与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $B$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）连接 $O A ， O C$ ，若点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $△ A O C$ 的面积．

综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点 $B ， D$ ，连接 $A D ， A B ， B C ， C D$ ，如果 $∠ B ＝ ∠ D$ ，那么 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点 $A ， C ， D$ 的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点 $E$ （不与 $A ， C$ 重合），连接 $A E ， C E$ ，则 $∠ A E C + ∠ D ＝ 180 °$ （依据1）

∵ $∠ B ＝ ∠ D$

∴ $∠ A E C + ∠ B ＝ 180 °$

∴点 $A ， B ， C ， E$ 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点 $B ， D$ 在点 $A ， C ， E$ 所确定的 $⊙ O$ 上（依据2）

∴点 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；依据2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ 3 ＝ 45 °$ ，则 $∠ 4$ 的度数为＿＿＿＿＿．

拓展探究：

（3）如图4，已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B ＝ A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上（不与 $B C$ 的中点重合），连接 $A D$ ．作点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $E$ ，连接 $E B$ 并延长交 $A D$ 的延长线于 $F$ ，连接 $A E ， D E$ ．

①求证： $A ， D ， B ， E$ 四点共圆；

②若 $A B ＝ 2 \sqrt{2}$ ， $A D • A F$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

新定义：我们把抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c$ （其中 $a b \neq 0$ ）与抛物线 $y ＝ b x^{2} + a x + c$ 称为“关联抛物线”．例如：抛物线 $y ＝ 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的“关联抛物线”为： $y ＝ 3 x^{2} + 2 x + 1$ ．已知抛物线 $C_{1} ： y ＝ 4 a x^{2} + a x + 4 a ﹣ 3 （ a \neq 0 ）$ 的“关联抛物线”为 $C_{2}$ ．

（1）写出 $C_{2}$ 的解析式（用含 $a$ 的式子表示）及顶点坐标；

（2）若 $a ＞ 0$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ ，作 $x$ 轴的垂线分别交抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于点 $M ， N$ ．

①当 $M N ＝ 6 a$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②当 $a ﹣ 4 \leq x \leq a ﹣ 2$ 时， $C_{2}$ 的最大值与最小值的差为 $2 a$ ，求 $a$ 的值．

遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高 $20 %$ ，用 $30000$ 元购买A型设备的数量比用 $15000$ 元购买B型设备的数量多 $4$ 台．

（1）求A，B型设备单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共 $50$ 台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 $\frac{1}{3}$ ．设购买a台A型设备，购买总费用为 $w$ 元，求 $w$ 与 $a$ 的函数关系式，并求出最少购买费用．

如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C ＝ 60 °$ ．综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点 $E$ 处测得灯管支架底部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，在点 $F$ 处测得灯管支架顶部 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，测得 $A E ＝ 3 m ， E F ＝ 8 m$ （ $A ， E ， F$ 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．