如图，在平面直角坐标系中，直线与直线yx交于点A，点B在直线-优题课

如图，在平面直角坐标系中，直线与直线y=x交于点A，点B在直线上，∠BOA=90°．抛物线过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，以 $CA$ 为边在 $∠ ACB$ 的另一侧作 $∠ ACM = ∠ ACB$ ，点 $D$ 为射线 $BC$ 上任意一点，在射线 $CM$ 上截取 $CE = BD$ ，连接 $AD$ 、 $DE$ 、 $AE$ ．

（1）如图1，当点 $D$ 落在线段 $BC$ 的延长线上时，直接写出 $∠ ADE$ 的度数；

（2）如图2，当点 $D$ 落在线段 $BC$ （不含边界）上时， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $F$ ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 $AB = 6$ ，求 $CF$ 的最大值．

如图，直线 $y = ax + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, b)$ ．将线段 $AB$ 先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t (t > 0)$ 个单位长度，得到对应线段 $CD$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过 $C$ 、 $D$ 两点，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $ABDC$ 的面积；

（3）点 $N$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $M$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上的一个点，若 $ΔCMN$ 是以 $CM$ 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$ 的坐标．

某校开设了“ $3 D$ ”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程	频数	频率
$A$	36	0.45
$B$		0.25
$C$	16	$b$
$D$	8
合计	$a$	1

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　；

（2）“ $D$ ”对应扇形的圆心角为　　度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“ $A$ ”、“ $B$ ”、“ $C$ ”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

如图 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $BP$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点，分别连接 $CB$ 、 $CD$ ， $∠ BCD = 60 °$ ．

（1）求 $∠ ABD$ 的度数；

（2）若 $AB = 6$ ，求 $PD$ 的长度．

本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：

地点	票价
历史博物馆	10元 $/$ 人
民俗展览馆	20元 $/$ 人

（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？

（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？