2003年低空跳伞运动正式登陆中国，2005年北京中央电视塔-优题课

如图，一固定的竖直气缸有一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞，已知大活塞的质量为 $m_{1} = 2.50 k g$ ，横截面积为 $s_{1} = 80.0 c m^{2}$ ，小活塞的质量为，横截面积为 $s_{2} = 40 c m^{2}$ ；两活塞用刚性轻杆连接，间距保持为 $l = 40.0 c m$ ，气缸外大气压强为 $p = 1.00 \times 10^{5} p a$ ，温度为 $T = 303 K$ 。初始时大活塞与大圆筒底部相距 $\frac{1}{2}$ ，两活塞间封闭气体的温度为 $T_{1} = 495 K$ ，现气缸内气体温度缓慢下降，活塞缓慢下移，忽略两活塞与气缸壁之间的摩擦，重力加速度 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ ，求

（1）在大活塞与大圆筒底部接触前的瞬间，缸内封闭气体的温度；
（2）缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强。

如图，一长为10cm的金属棒 $a b$ 用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为0.1T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘，金属棒通过开关与一电动势为12V的电池相连，电路总电阻为2 $Ω$ 。已知开关断开时两弹簧的伸长量均为0.5cm；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了0.3cm，重力加速度大小取 $10 m / s^{2}$ 。判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向,并求出金属棒的质量。

现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。在真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度 $v_{2}$ 的大小与轨迹半径 $r_{2}$ ；

（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 $θ_{n}$ ，试求 $\sin θ_{n}$ ；

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。

如图所示，凸字形硬质金属线框质量为 $m$ ，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内， $a b$ 边长为 $l$ ， $c d$ 边长为 $2 l$ ， $a b$ 与 $c d$ 平行，间距为 $2 l$ 。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时， $c d$ 边到磁场上边界的距离为 $2 l$ ，线框由静止释放，从 $c d$ 边进入磁场直到 $e f$ 、 $p q$ 边进入磁场前，线框做匀速运动，在 $e f$ 、 $p q$ 边离开磁场后， $a b$ 边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为 $Q$ 。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且 $a b$ . $c d$ 边保持水平，重力加速度为 $g$ ；求

（1）线框 $a b$ 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是 $c d$ 边刚进入磁场时的几倍
（2）磁场上下边界间的距离 $H$

如图所示，金属导轨 $M N C$ 和 $P Q D$ ， $M N$ 与 $P Q$ 平行且间距为 $L$ ，所在平面与水平面夹角为 $α$ ， $N$ 、 $Q$ 连线与 $M N$ 垂直， $M$ 、 $P$ 间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨 $N C$ 和 $Q D$ 在同一水平面内，与 $N Q$ 的夹角都为锐角 $θ$ 。均匀金属棒 $a b$ 和 $e f$ 质量均为 $m$ ，长均为 $L$ ， $a b$ 棒初始位置在水平导轨上与 $N Q$ 重合； $e f$ 棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为 $μ$ （ $μ$ 较小），由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止。空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）。两金属棒与导轨保持良好接触。不计所有导轨和 $a b$ 棒的电阻， $e f$ 棒的阻值为 $R$ ，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为 $g$ 。

（1）若磁感应强度大小为B，给 $a b$ 棒一个垂直于 $N Q$ 、水平向右的速度 $v_{1}$ ，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止， $e f$ 棒始终静止，求此过程 $e f$ 棒上产生的热量；

（2）在（1）问过程中， $a b$ 棒滑行距离为 $d$ ，求通过 $a b$ 棒某横截面的电荷量；

（3）若 $a b$ 棒以垂直于 $N Q$ 的速度 $v_{2}$ 在水平导轨上向右匀速运动，并在 $N Q$ 位置时取走小立柱1和2，且运动过程中 $e f$ 棒始终静止。求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下 $a b$ 棒运动的最大距离。