先化简，再求值：，其中．-优题课

预计用 $1500$ 元购买甲商品 $x$ 个，乙商品 $y$ 个，不料甲商品每个涨价 $1.5$ 元，乙商品每个涨价 $1$ 元．尽管购头甲商品的个数比预定数减少 $10$ 个，总金额仍多用 $29$ 元．又若甲商品每个只涨价 $1$ 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 $5$ 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是 $1563.5$ 元．

（1）求 $x ， y$ 的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的 $2$ 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 $205$ ，但小于 $210$ ，求 $x ， y$ 的值．

求最大的正整数 $n$ ，使不等式 $\frac{8}{15} < \frac{n}{n + k} < \frac{7}{13}$ 对唯一的一个整数 $k$ 成立．

已知关于 $x ， y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 3 m + 7 ， \\ x - y = 4 m + 1 \end{matrix}$ 的解 $x$ 和 $y$ 都是正数，求 $m$ 的取值范围后，再化简 $|m - 1| + |m + \frac{2}{3}|$ ．

某工程机械厂根据市场要求，计划生产 $A ， B$ 两种型号的大型挖掘机共 $100$ 台，该厂所筹生产资金不少于 $22400$ 万元，但不超过 $22500$ 万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示：

（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？

（2）该厂如何生产获得最大利润？

（3）根据市场调查，每台 $B$ 型挖掘机的售价不会改变，每台 $A$ 型挖掘机的售价将会提高 $m$ 万元 $(m > 0)$ ，该厂如何生产可以获得最大利润（注：利润 $=$ 售价-成本）？

已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量和成本如下表：

某食品公司欲用这三种食物混合配制 $100 kg$ 食品，要求配制成的食品中至少含 $36000$ 单位的维生素A和 $40000$ 单位的维生素B．

（1）配制这 $100 kg$ 食品，至少要用甲种食物多少千克？丙种食物至多能用多少千克？

（2）若限定甲种食物用 $50 kg$ ，则配制这 $100 kg$ 食品的总成本 $S$ 的取值范围是多少？