解方程：．-优题课

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的数.

（1）画出由里向外的第 $4$ 个正方形，求在第四个正方形边上有多少个整点?

（2）请你猜测由里向外第 $20$ 个正方形（实线）四条边上的整点共有多少个；

（3）探究点 $(- 4 ， 3)$ 在由里向外的第几个正方形的边上，点 $(- 2 n ， 2 n)$ 在由里向外的第几个正方形的边上.

如图，将长方形 $ABCD$ 放置在平面直角坐标系中， $AB / / x$ 轴，且 $AB = 4 ， AD = 2$ ，且 $A (2 ， 1)$ .

（1）求 $B ， C ， D$ 的坐标，并说明将长方形 $ABCD$ 进行怎样的平移使 $C$ 点移到 $A$ 点处；

（2） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ PAB$ 的面积等于长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{3}{4}$ ，若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，说明理由.

在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 $O$ 出发，按向上、向右、向下、向右方向依次不断移动，每次移动 $1$ 个单位，其行走路线如图所示.

（1）填写下列各点的坐标：

$A_{4}$ （）， $A_{8}$ （）， $A_{12}$ （）

（2）写出点 $A_{4 n}$ 的坐标（ $n$ 是正整数）；

（3）指出蚂蚁从点 $A_{2016}$ 到点 $A_{2017}$ 的移动方向.

如图所示， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是由 $△ ABC$ 平移后得到的，已知 $△ ABC$ 中任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} - 6 ， y_{0} - 2)$ .

（1）已知 $A (2 ， 6) ， B (1 ， 3) ， C (5 ， 3) ， Q (3 ， 5)$ ，请写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， Q_{1}$ 的坐标

（2）试说明 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是如何由 $△ ABC$ 得到的?

（3）连接 $A_{1} A ， C_{1} C$ ，求出五边形 $A_{1} B_{1} C_{1} CA$ 的面积.

已知 $\sqrt{a^{2} + 2005}$ 是整数，求所有满足条件的正整数 $a$ 的和.